(资料图)
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt,则Φ’(x)=f(x)。
2、 证明:让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量 ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt 显然,x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得, 也可自己画个图,几何意义是非常清楚的。
3、) 当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x) 可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。
4、 2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a),F(x)是f(x)的原函数。
5、 证明:我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x)+C=F(x) 但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a],故面积为0),所以F(a)=C 于是有Φ(x)+F(a)=F(x),当x=b时,Φ(b)=F(b)-F(a), 而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt,所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a) 把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
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